Digitala bilder kräver egen geometri

Att förstå komplexa digitala bilder blir allt viktigare t.ex. inom sjukvården. Men den klassiska geometrin gäller inte för digitala linjer, eftersom dessa har andra egenskaper än en klassisk linje. I en avhandling vid Uppsala universitet, som granskas den 29 februari, visar matematikern Erik Melin hur man kan konstruera digitala linjer, kurvor och ytor med hjälp av en annan topologi. Den digitala linjens speciella egenskaper beror på att den består av små bildpunkter, så kallade pixlar. Datorbilder studeras inom digital geometri, som gör det möjligt att konstruera en exakt matematisk teori för den här sortens bilder. Behovet av att förstå digitala bilder med tre eller fyra dimensioner har blivit allt större t.ex. när man inom sjukvården ska analysera datortomografi- och magnetröntgenbilder. En topologi är en matematisk struktur på ett rum som bland annat definierar sammanhang och kontinuitet. Inom den klassiska geometrin använder man sig ofta av den euklidiska topologin, men den fungerar inte för digitala linjer. Under den senare delen av 1960-talet upptäckte matematikern Efim Khalimsky en annan topologi som fungerade på ett liknande sätt, men hans upptäckter publicerades till en början enbart på ryska och det dröjde till början av 90-talet innan de blev kända bland de forskare som ägnar sig åt digital geometri. I sin avhandling visar Erik Melin hur Khalimskys topologi kan användas för att konstruera digitala linjer, kurvor och ytor. - Det faktum att ytorna respekterar Khalimskys topologi ger dem mycket intressanta egenskaper. Skärningen mellan två sådana ytor fungerar till exempel bättre, berättar han. Han har också undersökt möjligheterna att med hjälp av Khalimskys topologi definiera så kallade digitala mångfalder, dvs. ytor och kurvor i vilken dimension som helst. - Mångfaldsbegreppet ger matematikern frihet att studera lokala egenskaper hos ett geometriskt objekt utan att vara bunden till ett omgivande rum med begränsande egenskaper, förklarar Erik Melin. Läs mer på Uppsala universitets hemsida. För mer information, kontakta Erik Melin, 018-471 76 21, 070-263 85 69, e-post: Erik.Melin@math.uu.se